בגרות 482 קיץ 2024 מועד ב׳ – שאלה 3חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 30
בגרות 482 · קיץ 2024 מועד ב׳ · שאלה 3
שיעור 30 – בגרות 482 קיץ 2024 מועד ב׳ – שאלה 3
פרק 3 – 10 בגרויות 482: חקירת פונקציה טריגונומטרית (שאלה 3)
1נוסח השאלה
2סעיף א – נקודות קיצון
3סעיף ב – סקיצה של f(x)
4סעיף ג – תחום החיוביות של f′(x)
5סעיף ד – סקיצה של −f(x)
6סעיף ה – חיתוך של g(x) עם ציר x
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (cos x)2 − 2sin x − 2 , המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .
א. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
ג. מצאו את תחום החיוביות של פונקציית הנגזרת f′(x) .
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה −f(x) .
📄 נוסח השאלה · המשך
נתונה הפונקציה g(x) = −f(x) − 1 .
ה. קבעו כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x . נמקו את קביעתכם.
סעיף א – נקודות קיצון
הנגזרת – גוזרים כל איבר בנפרד. האיבר הראשון הוא חזקה של cos x :
[(cos x)2]′ = 2cos x · (cos x)′
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[(cos x)2]′ = 2cos x · (−sin x)
📐 נגזרת של קוסינוס
[(cos x)2]′ = −2sin x cos x
(−2sin x)′ = −2cos x
📐 נגזרת של סינוס
הנגזרת של −2 היא 0.
📐 נגזרת של קבוע
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של קבוע
הנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
הנגזרת של −2 היא 0.
📐 נגזרת של קבוע
f′(x) = −2sin x cos x − 2cos x
משווים את הנגזרת ל־0. בשני האיברים יש −2cos x , ולכן מוציאים גורם משותף:
−2sin x cos x − 2cos x = 0
📐 נקודת קיצון
−2cos x(sin x + 1) = 0
מכפלה שווה 0, לכן cos x = 0 או sin x + 1 = 0 .
📐 מכפלה שווה 0
📐 נגזרת של קבוע
הנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
מכפלה שווה 0, לכן cos x = 0 או sin x + 1 = 0 .
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
x = π2 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −π2 + 2πk
בתחום 0 ≤ x ≤ 2π : מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , ומהשנייה עם k = 1 :
x = π2 , x = −π2 + 2π = 3π2
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
x = π2 , x = −π2 + 2π = 3π2
אפשרות 2: sin x + 1 = 0 :
sin x = −1
הסינוס שווה −1 רק בנקודה הנמוכה של מעגל היחידה, ובתחום זה:
x = 3π2
זה אותו פתרון שכבר מצאנו. לכן הנקודות החשודות הן x = π2 ו־x = 3π2 , ועוד קצות התחום x = 0 ו־x = 2π .
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
זה אותו פתרון שכבר מצאנו. לכן הנקודות החשודות הן x = π2 ו־x = 3π2 , ועוד קצות התחום x = 0 ו־x = 2π .
קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(π4) = −2cos π4(sin π4 + 1)
f′(π4) ≈ −2.41 < 0
f′(π) = −2cos π(sin π + 1) = 2 > 0
f′(7π4) = −2cos 7π4(sin 7π4 + 1)
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f′(7π4) = −2cos 7π4(sin 7π4 + 1)
f′(7π4) ≈ −0.41 < 0
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = (cos x)2 − 2sin x − 2
נציב x = 0 :
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
נציב x = 0 :
f(0) = (cos 0)2 − 2sin 0 − 2
f(0) = 12 − 0 − 2 = −1
נציב x = π2 :
f(π2) = (cos π2)2 − 2sin π2 − 2
f(π2) = 02 − 2 · 1 − 2 = −4
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f(π2) = 02 − 2 · 1 − 2 = −4
נציב x = 3π2 :
f(3π2) = (cos 3π2)2 − 2sin 3π2 − 2
f(3π2) = 02 − 2 · (−1) − 2 = 0
נציב x = 2π :
f(2π) = (cos 2π)2 − 2sin 2π − 2
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f(2π) = (cos 2π)2 − 2sin 2π − 2
f(2π) = 12 − 0 − 2 = −1
✅ פתרון סופי:
מקסימום קצה: (0 , −1)
מינימום: (π2 , −4)
מקסימום: (3π2 , 0)
מינימום קצה: (2π , −1)
מקסימום קצה: (0 , −1)
מינימום: (π2 , −4)
מקסימום: (3π2 , 0)
מינימום קצה: (2π , −1)
סעיף ב – סקיצה של f(x)
מסמנים את הנקודות מסעיף א: (0 , −1) , (π2 , −4) , (3π2 , 0) , (2π , −1) .
נקודת המקסימום (3π2 , 0) נמצאת על ציר x : הגרף נוגע בציר שם, ובכל שאר התחום הוא מתחת לציר. נקודת החיתוך עם ציר y היא (0 , −1) .
מחברים לפי הציר: יורדת, עולה, יורדת.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ג – תחום החיוביות של f′(x)
תחום החיוביות של f′(x) הוא התחום שבו f′(x) > 0 . קוראים אותו מהציר של סעיף א – זה התחום שבו הפונקציה עולה:
סימן + על הציר: בין π2 ל־3π2
📐 עלייה וירידה
π2 < x < 3π2
✅ פתרון סופי: π2 < x < 3π2
📐 עלייה וירידה
f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
סעיף ד – סקיצה של −f(x)
הגרף של −f(x) הוא שיקוף של הגרף של f(x) ביחס לציר x : שיעור ה־x נשאר, ושיעור ה־y מחליף סימן.
כל נקודה (x , y) עוברת ל־(x , −y) .
📐 שיקוף ביחס לציר x
לכן מקסימום הופך למינימום, ולהפך:
(0 , −1) → (0 , 1)
(π2 , −4) → (π2 , 4)
(3π2 , 0) → (3π2 , 0)
📐 שיקוף ביחס לציר x
y = −f(x) – שיקוף של f(x) ביחס לציר x
סעיף ד – סקיצה של −f(x) · המשך
(3π2 , 0) → (3π2 , 0)
(2π , −1) → (2π , 1)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ה – חיתוך של g(x) עם ציר x
הגרף של g(x) = −f(x) − 1 הוא הגרף של −f(x) מוזז ביחידה אחת כלפי מטה: כל שיעור y קטן ב־1.
(0 , 1) → (0 , 0)
(π2 , 4) → (π2 , 3)
(3π2 , 0) → (3π2 , −1)
(2π , 1) → (2π , 0)
סעיף ה – חיתוך של g(x) עם ציר x · המשך
נעבור על התחומים לפי סדר:
• בקצה x = 0 מתקיים g(0) = 0 – נקודת חיתוך עם ציר x .
• בתחום 0 < x < π2 הפונקציה g עולה מ־0 ל־3, ולכן חיובית ואין חיתוך.
• בתחום π2 < x < 3π2 הפונקציה g יורדת מ־3 (חיובי) ל־−1 (שלילי), ולכן חותכת את ציר x בדיוק פעם אחת.
סעיף ה – חיתוך של g(x) עם ציר x · המשך
• בתחום π2 < x < 3π2 הפונקציה g יורדת מ־3 (חיובי) ל־−1 (שלילי), ולכן חותכת את ציר x בדיוק פעם אחת.
• בתחום 3π2 < x < 2π הפונקציה g עולה מ־−1 ל־0, ולכן שלילית ואין חיתוך.
• בקצה x = 2π מתקיים g(2π) = 0 – נקודת חיתוך עם ציר x .
סך הכול:
1 + 1 + 1 = 3
✅ פתרון סופי: 3 נקודות חיתוך עם ציר x
📌 סיכום התשובות
סעיף א
מקס. קצה (0 , −1) , מינ. (π2 , −4) , מקס. (3π2 , 0) , מינ. קצה (2π , −1)
סעיף ב
סקיצה
סעיף ג
π2 < x < 3π2
סעיף ד
סקיצה
סעיף ה
3 נקודות חיתוך
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא